Понятие функции. Основные свойства функций. Область определения и значения. Четность и нечетность. Периодичность, нули функции, промежутки знакопостоянства, монотонность (возрастание, убывание), экстремумы (максимумы, минимумы), асимптоты

Понятие функции. Область определения и значения

• Числовая функция y=f(x) это соответствие, которое каждому числу x (аргумент функции) из некоторого заданного множества сопоставляет единственное число y (значение функции)

• Область определения функции D это множество значений х
• Область значений функции E это множество значений y
• График функции это множество точек координатной плоскости (x,y), таких, что y=f(x)

Понятие функции. Четность и нечетность

• Функция f(x) четная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=f(x)
• График четной функции симметричен относительно оси y

• Функция f(x) нечетная, если область определения функции симметрична относительно нуля и для любого x из области определения  f(-x)=-f(x)
• График нечетной функции симметричен относительно начала координат

Понятие функции. Периодичность

• Функция f(x) периодическая,  с периодом T>0, если для любого x из области определения значения x+T и x-T также принадлежат  области определениыя f(x)=f(x+T)=f(x-T)
• График периодической функции состоит из неограниченно повторяющихся одинаковых фрагментов

Нули функции:

• Нуль функции f(x)  - значение аргумента x, при котором функция обращается в нуль: f(x)=0
• В нуле функции ее график имеет общую точку (пересекается) с осью x

Промежутки знакопостоянства:

• Промежутки знакопостоянства  функции f(x) это промежутки, на которых функция сохраняет знак.

Монотонность (возрастание, убывание):

• Определение возрастающей функции: Функция f(x) - возрастающая на интервале (a:b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала, таких, что x₁<x₂, справедливо неравенство f(x₁)<f(x₂)

• Определение убывающей функции: Функция f(x) - возрастающая на интервале (a:b), если для любых x₁ и x₂ из этого интервала, таких, что x₁<x₂, справедливо неравенство f(x₁)>f(x₂)

Экстремумы (максимумы и минимумы):

• Внутренняя точка x_max области определения функции называется точкой максимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x)<f(x_max)
• Значение y_max=f(x_max) называется максимум функции.

• Внутренняя точка x_min области определения функции называется точкой минимума, если для всех x из некоторой окрестности этой точки справедливо неравенство f(x)>f(x_min)
• Значение y_min=f(x_min) называется минимум функции.

Асимптоты:

• Асимтота графика это прямая, к которой неограниченно приближается точка при удалении этой точки по бесконечной ветви:

Алгоритм описания функции:

1. Область определения функции
2. Область значения функции
3. Является ли функция периодической
4. Является ли функция четной или нечетной
5. Точки пересечения графика с осями координат
6. Промежутки знакопостоянства
7. Интервалы возрастания и убывания
8. Абсциссы и ординаты точек экстремума
9. Наличие асимптот