Инженерный справочник DPVA.ru (ex DPVA-info)

Проект Карла III Ребане и хорошей компании
 Задвижки, фильтры, кланы, клапаны, виброкомпенсаторы ABRA
Межфланцевые прокладки. Герметики. Уплотнительные материалы

Грузоперевозка по Москве, Московской и прилегающим областям


Free counters!

Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Линейная алгебра. Вектора, матрицы, определители, миноры, детерминанты...  / / Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.

Матрицы, виды матриц, типы матриц. Действия и операции над матрицами. Свойства операций над матрицами.

  • Матрицы (и соответственно математический раздел - матричная алгебра) имеют важное значение в прикладной математике, так как позволяют записать в достаточно простой форме значительную часть математических моделей объектов и процессов. Термин "матрица" появился в 1850 году. Впервые упоминались матрицы еще в древнем Китае, позднее у арабских математиков.
  • Матрицей A=Amn порядка m*n называется прямоугольная таблица чисел, содержащая m - строк и n - столбцов.
    • Матрицы - определение матрицы
    • Элементы матрицы aij, у которых i=j, называются диагональными и образуют главную диагональ.
    • Для квадратной матрицы (m=n) главную диагональ образуют элементы a11, a22,..., ann .
  • Виды матриц

  • 1. Прямоугольные: m и n - произвольные положительные целые числа
  • 2. Квадратные: m=n
  • 3. Матрица строка: m=1. Например, (1 3 5 7 ) - во многих практических задачах такая матрица называется вектором
  • 4. Матрица столбец: n=1. Например
    • Матрица столбец
  • 5. Диагональная матрица: m=n и aij=0, если i≠j. Например
    • Диагональная матрица.
  • 6. Единичная матрица: m=n и
    • Единичная матрица
  • 7. Нулевая матрица: aij=0, i=1,2,...,m / j=1,2,...,n
    • Нулевая матрица
  • 8. Треугольная матрица: все элементы ниже главной диагонали равны 0.
    • Пример.
    • Треугольная матрица
  • 9. Симметрическая матрица: m=n и aij=aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят равные элементы), а следовательно A'=A
    • Например,
    • Симметрическая или симметричная матрица
  • 10. Кососимметрическая матрица: m=n и aij=-aji (т.е. на симметричных относительно главной диагонали местах стоят противоположные элементы). Следовательно, на главной диагонали стоят нули (т.к. при i=j имеем aii=-aii)
    • Пример.
    • Кососимметрическая или кососимметричная матрица
    • Ясно, A'=-A
  • 11. Эрмитова матрица: m=n и aii=-ãii (ãji - комплексно - сопряженное к aji, т.е. если A=3+2i, то комплексно - сопряженное Ã=3-2i)
    • Пример
    • Эрмитова матрица
  • Равенство матриц.

    • A=B, если порядки матриц A и B одинаковы и aij=bij (i=1,2,...,m; j=1,2,...,n)
  • Действия над матрицами.

    • 1. Сложение матриц - поэлементная операция
    • Матрицы. Сложение матриц
    • 2. Вычитание матриц - поэлементная операция
    • Матрицы. Вычитание матриц
    • 3. Произведение матрицы на число - поэлементная операция
    • Матрицы. Умножение матрицы на число
  • 4. Умножение A*B матриц по правилу строка на столбец (число столбцов матрицы А должно быть равно числу строк матрицы B)
    • Amk*Bkn=Cmn причем каждый элемент сij матрицы Cmn равен сумме произведений элементов i-ой строки матрицы А на соответствующие элементы j-го столбца матрицы B , т.е.
    • Перемножение матриц
  • Покажем операцию умножения матриц на примере
    • Матрицы. Умножение матриц - пример
  • 5. Возведение в степень
    • Матрицы. Возведение в степень
    • m>1 целое положительное число. А - квадратная матрица (m=n) т.е. актуально только для квадратных матриц
  • 6. Транспонирование матрицы А. Транспонированную матрицу обозначают AT или A'
    • Транспонирование матрицы
    • Строки и столбцы поменялись местами
  • Пример
    • Матрицы. Транспонирование - пример

    Виды матриц и примеры. Квадратная матрица, Единичная матрица, Нулевая матрица, Диагональная матрица, Верхняя треугольная матрица, Нижняя треугольная матрица, Симметричная матрица.

    Сложение и вычитание матриц, умножение матрицы на число, умножение матриц, операция транспонирования матрицы, элементарные преобразования матрицы

    • Свойства операций над матрицами

      • A+B=B+A
      • (A+B)+C=A+(B+C)
      • λ(A+B)=λA+λB
      • A(B+C)=AB+AC
      • (A+B)C=AC+BC
      • λ(AB)=(λA)B=A(λB)
      • A(BC)=(AB)C
      • (A')'=A
      • (λA)'=λ(A)'
      • (A+B)'=A'+B'
      • (AB)'=B'A'
    Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
    Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:
  • Понятие вектора. Действия с векторами, их свойства - сложение и вычитание векторов, умножение на число, коллинеарность. Скалярное умножение (произведение) векторов. Проекции, разложение векторов, координаты, действия в координатах, взаимное расположение
  • Сложение векторов. Векторная сумма. Правила сложения векторов. Геометрическая сумма. Он-лайн калькулятор.
  • Скалярное произведение векторов. Он-лайн калькуляторы скалярного произведения и угла между векторами по координатам.
  • Векторное произведение двух векторов. Он-лайн калькулятор.
  • Метод координат на плоскости. Расстояние между точками. Расстояние до точки от начала координат. Координаты точки, делящей отрезок в отношении λ . Координаты середины отрезка. Координаты центра тяжести треугольника.
  • Уравнения прямой на плоскости. Общее уравнение прямой. Уравнение прямой "в отрезках"; прямой с угловым коэффициентом. Уравнение пучка прямых, проходящих через точку. Уравнение прямой, проходящей через 2 точки. Нормальное уравнение прямой.
  • Взаимное расположение прямых на плоскости. Расположение прямых - условие параллельности, условие перпендикулярности, условие пересечения по углом φ , нахождение общих точек прямых. Расстояние от точки до прямой.
  • Вы сейчас здесь: Матрицы. Действия над матрицами. Свойства операций над матрицами. Виды матриц.
  • Определитель = детерминант 2-го, 3-го, n-го порядка. Обозначение, правила вычисления. Правило треугольников, разложение по элементам строки. Алгебраическое дополнение, минор к элементу. Примеры вычисления определителей = детерминантов
  • Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Общий вид, матрица системы, СЛАУ в матричной форме, решение СЛАУ. Разновидности СЛАУ - совместная, несовместная, определенная, неопределенная, однородная, неоднородная... Обратная матрица и ее нахождение.
  • Методы решения невырожденных систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) - по формулам Крамера, матричный способ. Метод Гаусса = метод последовательного исключения неизвестных при решения систем линейных алгебраических уравнений. Наличие решений.
  • Собственные векторы, собственные значения матрицы и их нахождение. Характеристическое уравнение матрицы. Подпространство собственных векторов.
  • Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
    Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
    Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.