Инженерный справочник DPVA.ru (ex DPVA-info)

Проект Карла III Ребане и хорошей компании
 Задвижки, фильтры, кланы, клапаны, виброкомпенсаторы ABRA
Межфланцевые прокладки. Герметики. Уплотнительные материалы

Мы в Facebook:

DPVA.ru в Facebook

Мы ВКонтакте:



Free counters!


Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений. Формулы. Методы. / / Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. Системы дифференциальных уравнений. / / Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений. / / Однородные системы дифференциальных уравнений. Решение. Теоретические сведения.  / / Однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоретические сведения.

Однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоретические сведения.
Поделитесь ссылкой с друзьями:

Однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоретические сведения.

Рассматриваются системы дифференциальных уравнений вида
Однородные системы дифференциальных уравнений, ДУ
Здесь x1(t), x2(t), ... , xn(t) - искомые функции, заданные на определенном промежутке (a, b), а aij (i, j=1, 2, ...n) - вещественные числа. Введем следующие обозначения:

Матричное задание однородных систем дифференциальных уравнений, ДУ

Используя операции над матрицами, исходную систему можно записать в следующем виде: Матричное задание однородных систем дифференциальных уравнений, ДУ

Прежде чем перейти непосредственно к решению таких систем, перечислим свойства решений этих систем.

Рассмотрим систему из n вектор-функций:
Фундаментальная система решений однородных систем дифференциальных уравнений, ДУ
Определение 1.
Система вектор-функций Фундаментальная система решений однородных систем дифференциальных уравнений, ДУ называется линейно зависимой на (a, b), если найдутся такие числа Набор чисел альфа, не все равные нулю, что для любого t из промежутка (a, b)
Линейно зависимая система векторов
Если же тождество
Линейно зависимая система векторов
выполняется только при Нулевой набор чисел альфа, то такая система вектор-функций Фундаментальная система решений однородных систем дифференциальных уравнений, ДУ называется линейно независимой на интервале (a, b).

Определение 2.
Любая линейно независимая на (a, b) система n решений нашей системы дифференциальных уравнений называется фундаментальной системой решений.

Теорема 1.
Фундаментальная система решений существует. Вектор-функция
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений, ДУ, где Фундаментальная система решений однородной системы дифференциальных уравнений, ДУ - фундаментальная система решений, C1, C2, ... , Cn - произвольные постоянные, является общим решением системы.

Определение 3.

Вектор ненулевой вектор называется собственным вектором матрицы А, если найдется такое число Лямбда , что
Собственный вектор матрицы, собственное значение.
Тогда Лямбда называется собственным значением матрицы А, соответствующим вектору X.

Для того, чтобы построить фундаментальную систему решений необходимо найти собственные значения матрицы А. Для их нахождения нужно решить так называемое характеристическое уравнение
Характеристическое уравнение.
Данное уравнение является алгебраическим уравнением порядка n, следовательно, оно имеет n корней. Ход решение исходной системы зависит от структуры решения характеристического уравнения.

Для того, чтобы ознакомиться с алгоритмами решения однородных систем дифференциальных уравнений на примере систем третьего порядка, загляните сюда.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:
  • Вы сейчас здесь: Однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоретические сведения.
  • Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.
  • Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений. Формулы. Методы. / / Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. Системы дифференциальных уравнений. / / Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений. / / Однородные системы дифференциальных уравнений. Решение. Теоретические сведения.
    Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
    Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.