Инженерный справочник DPVA.ru (ex DPVA-info)

Проект Карла III Ребане и хорошей компании
 Задвижки, фильтры, кланы, клапаны, виброкомпенсаторы ABRA
Межфланцевые прокладки. Герметики. Уплотнительные материалы

Мы в Facebook:

DPVA.ru в Facebook

Мы ВКонтакте:



Free counters!


Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений. Формулы. Методы. / / Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. Системы дифференциальных уравнений. / / Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений. / / Однородные системы дифференциальных уравнений. Решение. Теоретические сведения.  / / Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.

Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.
Поделитесь ссылкой с друзьями:

Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.

Для более глубокого понимания происходящего в этой статье можно ознакомиться с краткой теоретической справкой.

Рассмотрим однородную систему дифференциальных уравнений третьего порядка
Однородная система дифференциальных уравнений третьего 3 порядка
Здесь x(t), y(t), z(t) - искомые функции на промежутке (a, b), aij (i, j =1, 2, 3) - вещественные числа.

Запишем исходную систему в матричном виде
однородная система дифференциальных уравнений в матричном виде, записи,
где
Матричная запись, вид однородной системы дифференциальных уравнений, ДУ третьего 3 порядка
Решение исходной системы будем искать в виде
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений ДУ третьего 3 порядка,
где Фундаментальная система решений однородной системы дифференциальных уравнений ДУ третьего 3 порядка, C1, C2, C3 - произвольные постоянные.

Чтобы найти фундаментальную систему решений, нужно решить так называемое характеристическое уравнение
Харктеристическое уравнение третьего 3 порядка
Это уравнение является алгебраическим уравнением третьего порядка, следовательно оно имеет 3 корня. При этом возможны следующие случаи:

1. Корни (собственные значения) Лямбда действительны и различны.

2. Среди корней (собственных значений) есть комплексно-сопряженные, пусть
лямбда - действительный корень
лямбда = комплексные числа

3. Корни (собственные значения) действительны. Один из корней кратный.


Чтобы разобраться, как действовать в каждом из этих случаев, нам понадобятся:
Теорема 1.
Пусть лямбда - попарно различные собственные значения матрица А, а собственные векторы - соответствующие им собственные векторы. Тогда
фундаментальная система решений при различных действительных корнях характеристического уравнения
образуют фундаментальную систему решений исходной системы.

Замечание.
Пусть лямбда - действительное собственное значение матрица А (действительный корень характеристического уравнения), Gamma - соответствующий ему собственный вектор.
лямбда=комплексное число - комплексные собственные значения матрицы А, гамма- соответствующий лямбда - собственный вектор. Тогда
фундаментальная система решений однородной системы дифференциальных уравнений ДУ третьего 3 порядка в случае комплексных корней
(Re - действительная часть, Im - мнимая)
образуют фундаментальную систему решений исходной системы. (Т.е. лямбда и лямбда=лямбда рассматриваются вместе)

Теорема 3.
Пусть - корень характеристического уравнения кратности 2. Тогда исходная система имеет 2 линейно независимых решения вида
решение системы однородных дифференциальных уравнений ДУ третьего 3 порядка в случае корня характеристического уравнения кратности 2,
где бета, бета - постоянные вектора. Если же лямбда кратности 3, то существует 3 линейно независимых решения вида
решение системы однородных дифференциальных уравнений ДУ третьего 3 порядка в случае корня характеристического уравнения кратности 3.
Векторы Бета находятся подствалением решений (*) и (**) в исходную систему.
Чтобы лучше понять метод нахождения решений вида (*) и (**), смотри разобранные типичные примеры ниже.


Теперь рассмотрим более подробно каждый из вышеописанных случаев.

1. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае различных действительных корней характеристического уравнения.
Дана система
система однородных дифференциальных уравнений третьего 3 порядка
1) Составляем характеристическое уравнение
Характеристическое уравнение третьего порядка
лямбда - действительные и различные собственные значения 9корни этого уравнения).
2)Строим Вектор фундаментальной системы однородных дифференциальных уравнений порядка 3 в случае различных действительных корней, где
собственный вектор матрицы - собственный вектор матрицы А, соответствующий лямбда, т.е. - любое решение системы
Система для нахождения собственного вектора
3)Строим Вектор фундаментальной системы однородных дифференциальных уравнений порядка 3 в случае различных действительных корней, где
собственный вектор матрицы - собственный вектор матрицы А, соответствующий лямбда, т.е. - любое решение системы
Система для нахождения собственного вектора
4)Строим Вектор фундаментальной системы однородных дифференциальных уравнений порядка 3 в случае различных действительных корней, где
собственный вектор матрицы - собственный вектор матрицы А, соответствующий лямбда, т.е. - любое решение системы
Система для нахождения собственного вектора
5)
Фундаментальная система решений однородной системы дифференциальных уравнений третьего 3 порядка в случае различных вещественных корней характеристического уравнения
составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы в виде
общее решение однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка в случае различных вещественных корней характеристического уравнения,
здесь C1, C2, C3 - произвольные постоянные,
вектор неизвестных функций,
или в координатном виде
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка в случае различных действительных корней характеристического уравнения в координатном виде
Расмотрим несколько примеров:
Пример 1.
Однородная система дифференциальных уравнений ДУ второго 2 порядка пример
1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Составление характеристических уравнений для матриц второго порядка
2) Находим
Нахождение собственных векторов для матрицы второго порядка
3)Находим
Нахождение собственных векторов для матрицы второго порядка
4)Вектор-функции
Фундаментальная система решений однородной системы дифференциальных уравнений второго 2 порядка, пример
образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка, пример
или в координатной записи
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка в координатной форме, записи, пример

Пример 2.
Однородная система дифференциальных уравнений ДУ второго 3 порядка пример
1)Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Составление характеристических уравнений для матриц третьего порядка
2) Находим
Нахождение собственных векторов для матрицы третьего порядка
3)Находим
Нахождение собственных векторов для матрицы третьего порядка
4)Находим
Нахождение собственных векторов для матрицы третьего порядка
5)Вектор-функции
Фундаментальная система решений однородной системы дифференциальных уравнений третьего 3 порядка, пример
образуют фундаментальную систему. Общее решение имеет вид
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка, пример
или в координатной записи
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка в координатной форме, записи, пример


2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексно-сопряженных корней характеристического уравнения.
1) Составляем и решаем характеристическое уравнение
характеристическое уравнение для матрицы третьего порядка
лямбда - действительный корень,
лямбда комплексные
2)Строим вектор-функция фундаментальной системы решений однородной дифференциальной системы уравнений, где

собственный вектор матрицы третьего порядка - собственный вектор матрицы А, соответствующий лямбда, т.е гаммаудовлетворяет системе матричное уравнение для собственного вектора

система уравнений для нахождения собственного вектора
3) Строим
фундаменталье вектор-функции в случае комплексных корней характеристического уравнения
(т.е. лямбда и лямбда рассматриваем вместе), где

собственный вектор матрицы третьего порядка - собственный вектор матрицы А, соответствующий лямбда, т.е. гамма удовлетворяет системе матричное уравнение собственного вектора

система уравнений для нахождения собственного вектора матрицы третьего порядка
Здесь Re - действительная часть
Im - мнимая часть
4) фундаментальная система вектор-функций составляют фундаментальную систему решений. Далее записываем общее решение исходной системы:
общее решение однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка, где
С1, С23 произвольные постоянные.

Пример 1.
однородная система дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения, пример
1) Составляем и решаем характеристическое уравнение
однородная система дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения, пример
2)Строим

однородная система дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения, пример , где гамма удовлетворяет системе собственный вектор матричное уравнение , т.е.


система для нахождения собственного вектора матрицы третьего порядка
3) Строим
фундаментальные вектор-функции в случае комплексных корней характеристического уравнения, где

собственный вектор матрицы третьего порядка - удовлетворяет системе матричное уравнение для нахождение собственного вектора матрицы третьего порядка , т.е.


система уравнений для нахождения собственного вектора матрицы третьего порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения
Первое уравнение сократим на 2. Затем ко второму уравнению прибавим первое, умноженное на 2i, а от третьего уравнения отнимем перове, умноженное на 2.
система уравнений для нахождения собственного вектора матрицы третьего порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения
Далее
нахождение действительной и мнимой частии комплексной вектор-функции
Следовательно,
вектор-функции фундаментальной системы решений однородной системы дифференциальных уравнений в случае комплексных корней характеристического уравнения
4) фундаментальная система решений - фундаментальная система решений. Запишем общее решение исходной системы:
общее решение однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения

Пример 2.
Однородная система дифференциальных уравнений второго порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения, пример
1) Составляем и решаем харктеристическое уравнение
характеристичесое уравнение матрицы второго порядка, комплексные корни, примеры
2)Строим
Фундаментальная система решений однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения, пример
(т.е. лямбда и лямбда рассматриваем вместе), где

собственный вектор матрицы второго порядка -собственный вектор матрицы А, соответствующий лямбда, т.е. любое решение системы матричное уравнение собственного вектора матрицы второго порядка


Система уравнений для нахождения собственного вектора матрицы второго порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения, пример
Второе уравнение умножим на (1-i) и сократим на 2.
Система уравнений для нахождения собственного вектора матрицы второго порядка в случае комплексных корней характеристического уравнения, пример
Выделение действительной и комплексной части вектор-функции двумерной второго порядка
Следовательно,
Фундаментальная система решений однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка в случае комплексных корней
3) Фундаментальная система решений однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка в случае комплексных корней - фундаментальная система решений.
Общее решение исходной системы
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка в случае комплексных корней
или
Общее решение однородной системы дифференциальных уравнений второго порядка в случае комплексных корней

2. Алгоритм решения однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения.
Составляем и решаем характеристическое уравнение
характеристическое уравнение для матрицы третьего порядка
Возможны два случая:
случай кратных корней характеристического уравнения при решении однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка, алгоритм
Рассмотрим случай а) 1) вектор-функция фундаментальной системы решений однородной дифференциальной системы уравнений, где

собственный вектор матрицы третьего порядка - собственный вектор матрицы А, соответствующий лямбда, т.е гаммаудовлетворяет системе матричное уравнение для собственного вектора

система уравнений для нахождения собственного вектора
2) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существуют два линейно независимых решения вида
Вид решения однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка в случае корня картности два характеристического уравнения,
где бета, бета - постоянные векторы. Их возьмем за система из двух вектор-функций.
3)фундаментальная система решений - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы:
общее решение однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка

Рассмотрим случай б):
1) Сошлемся на Теорему 3, из которой следует, что существует три линейно независимых решения вида
Вид решения однородной системы дифференциальных уравнений третьего порядка в случае корня картности два характеристического уравнения,
где бета, бета, бета - постоянные векторы. Их возьмем за фундаментальная система вектор-функций.
2)фундаментальная система вектор-функций - фундаментальная система решений. Далее записываем общее решение исходной системы.

Чтобы лучше понять как находить решения вида (*), рассмотрим несколько типичных примеров.

Пример 1.
Решение однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения, пример
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
Характеристическое уравнение матрицы третьего порядка с корнями кратности два
Имеем случай а)
1) Строим
ешение однородных систем дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения, пример, где

гамма - любое решение системы система для нахождения собственного вектора матрицы три на три , т.е.

система для нахождения собственного вектора матрицы третьего порядка


Из второго уравнения вычитаем первое:

система для нахождения собственного вектора матрицы третьего порядка ? третья строка подобна второй, ее вычеркиваем. Из первого уравнения вычтем второе:
система для нахождения собственного вектора матрицы третьего порядка
2) лямбда два 2 = 1 (кратность 2)
Этому корню по Т.3 должно соответствовать два линейно независимых решения вида собственный вектор в случае кратных корней.
Попробуем найти все линейно незваисимые решения, у которых бета, т.е. решения вида
собственный вектор в случае кратных корней.
Такой вектор будет решением тогда и только тогда, когда бета - собственный вектор, соответствующий лямбда=1, т.е.
собственный вектор, или
система из трех уравнений, вторая и третья строки подобны первой, выкидываем их.
система уравнений для нахождения собственных векторов
Система свелась к одному уравнению. Следовательно, имеется два свободных неизвестных, например, константа и константа. Дадим им сначала значения 1, 0; потом значения 0, 1. Получим такие решения:
собственный вектор в случае кратных корней кратности два 2.
Следовательно, решение системы дифференциальных уравнений в случае кратных корней  характеристического уравнения.
3) фундаментальная система решений - фундаментальная система решений. Осталось записать общее решение исходной системы:
общее решение системы дифференциальных уравнений .


Пример 2.
Решение системы однородных дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения
Составляем и решаем характеристическое уравнение:
характеристическое уравнение
Имеем случай а).
1) Строим
Решение системы однородных дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения,

где Решение системы однородных дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения , т.е.

Решение системы однородных дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения
За гамма 1 возьмем
вектор.Тогда
Вектор фундаментальной системы решений
2) лямбда=-1 (кратности 2).
Этому корню по Т.3 соответствуют два линейно независимых решения вида собственный вектор в случае кратных корней характеристического уравнения.
Попробуем найти линейно независимые решения, у которых бета, т.е. решения вида Решение системы однородных дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения
Но тогда бета будет собственным вектором, соответствующим лямбда=-1, т.е. Решение системы однородных дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения, т.е.
Решение системы однородных дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения
Третья строка аналогична второй, отбрасываем ее.
Решение системы однородных дифференциальных уравнений третьего порядка в случае кратных корней характеристического уравнения
Пусть C3=1, тогда

бета = вектор


Итак, корню лямбда=-1 соответствует (в отличие от пример 1) один линейно независимый вектор бета ноль нуль 0. Любой другой собственный вектор имеет вид линейная зависимость собственных векторов. Таким образом существует только одно решение вида собственный вектор в случае кратных корней характеристического уравнения. Следовательно,
второй вектор ach? фундаментальной системы решений.

Следующий вектор фундаментальной системы решений будем искать в виде
третий собственный вектор
Чтобы понять, как искать бета 0 и бета один 1 в этом случае, воспользуемся матричной записью системы:
матричная запись однородной системы дифференциальных уравнений
Подставим X3 в эту систему:
матричная запись уравнений для поиска собственного вектора в случае кратных корней
Сократим на e-t и приравняем коэффициенты при одинаковых степенях t. Получаем систему
уравнения для поиска собственного вектора в случае кратных корней
Из первого уравнения и условия бета не равно следует, что бета 1 один - собственный вектор, отвечающий собственнуму значению лямбда, т.е.
как найти собственный вектор в случае кратных корней характеристического уравнения

[ вектор нашли, когда искали Х2]

Второе уравнение последней системы запишем так:
система уравнений для нахождения собственных векторов и решения однородной системы дифференциальных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения
Этому матричному уравнению соответствует система линейных уравнений:
система уравнений для нахождения собственных векторов и решения однородной системы дифференциальных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения
Вычеркнем третью строку (она подобна второй). Система совместна (имеет решение) при любом с. Пусть с=1.
система уравнений для нахождения собственных векторов и решения однородной системы дифференциальных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения
Выпишем какое-нибудь частное решение последней системы.
a3=0, a2=-1, a1=1 т.е.
бета ноль
Тогда
Фундаментальный вектор в случае кратных корней характеристическогоу равнения при решении однородной системы дифференциальных уравнений
3) фундаментальная система решений - фундаментальная система решений. Выпишем общее решение исходной системы:
Матричная запись общего решения системы дифференциальных однородных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения
или
Координатная запись общего решения системы дифференциальных однородных уравнений в случае кратных корней характеристического уравнения

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:
  • Однородные системы дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами. Теоретические сведения.
  • Вы сейчас здесь: Алгоритм решения линейных систем дифференциальных уравнений третьего порядка.
  • Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
    Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений. Формулы. Методы. / / Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. Системы дифференциальных уравнений. / / Системы дифференциальных уравнений. Решение систем дифференциальных уравнений. / / Однородные системы дифференциальных уравнений. Решение. Теоретические сведения.
    Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
    Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.