Примеры решений однородных дифференциальных уравнений (и сводящихся к ним)

Примеры решений однородных дифференциальных уравнений (и сводящихся к ним)

1. y'=f(y/x) или M(x,y)dx+N(x,y)dy=0, где M(x,y) и N(x,y) однородные функции одной и той же степени "n", т.е. М(kx,ky)≡ kⁿ M(x,y);

N(kx,ky)≡ kⁿ N(x,y)

Заменой y=tx получается уравнение с разделяющимися переменными.

Пример.

(x+2y)dx-xdy=0

y=tx, dy=tdx+xdt

(x+2tx)dx-x(tdx+xdt)=0

x(1+2t-t)dx=x²dt, x(1+t)dx=x²dt

Делим на x²(1+t), получаем dx/x=dt/(1+t),

ln|x|=ln|1+t|+lnc

x=c(1+t)

x=c(1+y/x) или х+у=сx²

При делении потеряли решение х=0 и у=-х, но последнее решение входит в х+у=сx² при с=0.

2. сводится к однородному при помощи переноса начала координат в точку пересечения прямых ax+by+c=0 и

a₁x+b₁y+c₁=0.

Пример.

(2x-4y+6)dx+(xy+3)dy=0

x_o = 1, y _o = 2

Сделаем замену , здесь z-новая независимая переменная, u(z) - новая неизвестная функция.

(2z-4u)dz+(z+u)dy=0 получили однородное уравнение. Если же прямые ax+by+c=0 и a₁x+b₁y+c₁=0 не пересекаются, то ax+by=k(a₁x+b₁y), и следовательно, уравнение имеет вид y'=F(ax+by), о котором говорилось в предыдущем пункте.