Инженерный справочник DPVA.info

Проект Карла III Ребане и хорошей компании
 Задвижки, фильтры, кланы, клапаны, виброкомпенсаторы ABRA
Межфланцевые прокладки. Герметики. Уплотнительные материалы

Мы ВКонтакте:



Free counters!


Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Теория вероятностей и статистика  / / Функция распределения плотности вероятностей и ее свойства.

Функция распределения плотности вероятностей и ее свойства.
Поделитесь ссылкой с друзьями:

Функция распределения плотности вероятностей и ее свойства.

  • Из формулы P{Α ≤ X < Β}=F(Β)-F(Α)следует, что вероятность попадания случайной величины в заданный интервал определяется скоростью изменения функции распределения вероятностей на этом интервале. Скорость изменения непрерывной функции равна ее производной. Это позволяет ввести новую функцию для задания случайной величины. Рассмотрим снова вероятность попадания случайной величины в интервал [x,x+Δx]:
    • P{x≤X<x+Δx}=F(x+Δx)-F(x).
    • Пусть Х - непрерывная случайная величина. Тогда для малых значений Δx эта вероятность будет также достаточно малой. Поделим ее на Δx и перейдем к пределу при Δx →0:
    • limΔx →0(P{x≤X<x+Δx}/Δx)=limΔx →0(F(x+Δx)-F(x))/Δx).
    • Если это предел существует, то он равен производной от функции распределения F(x):
    •  limΔx →0(F(x+Δx)-F(x))/Δx)=F'(x)=f(x).
  • Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей случайной величины Х. Из определения следует, что при малых значениях Δx справедливо равенство:
    •  P{x≤X<x+Δx}≈f(x)*Δx

Рассмотрим свойства плотности распределения f(x).

  • 1. Всегда f(x)≥0, так как функция F(x) является неубывающей функцией.
  • 2 Для функции распределения F(x) справедливо равенство:
    • F(x)=-∞xf(t)dt.
    • Действительно, так как по определению f(x)=F'(x), то F(x) является первообразной функцией по отношению к плотности распределения f(x). Следовательно,
    •  -∞f(t)dt=F(t)-∞ιx=F(x)-F(-∞)=F(x)-0=F(x.)
  • 3. Вероятность попадания случайной величины в заданный интервал [Α ; Β] равна:
    • P{Α≤X<Β}=Αβf(t)dt.
    • Действительно, в соответствии с формулой Ньютона-Лейбница этот определенный интеграл равен F(Β)-F(Α). По 3-му свойству функции распределения вероятностей эта разность и представляет собой вероятность P{Α≤X<Β} .
  • 4. Интеграл от плотности распределения вероятности по всей области задания случайной величины равен единице:
    •  -∞f(t)dt=1 .

Равенство -∞f(t)dt=1 представляет условие нормировки вероятностей для непрерывных случайных величин. По смыслу данный интеграл есть не что иное, как F(∞)=1. Условие нормировки вероятностей часто используется для определения неизвестного параметра закона распределения.

Для иллюстрации геометрического смысла перечисленных свойств приведем пример графика плотности распределения вероятностей. Для большей наглядности на рис. представлен также график соответствующей функции распределения вероятностей.

Функция плотности распределения вероятностей непрерывной слуычайной величины Функция распределения непрерывной случайной величины

Вся кривая плотности распределения вероятностей располагается выше оси 0Х (свойство1), причем максимум плотности достигается в точке х=а, в которой функция распределения вероятностей имеет наибольшую крутизну. Вероятность попадания случайной величины в интервал [Α ; Β] численно равна площади криволинейной трапеции, построенной на этом интервале как на основании и ограниченной сверху графиком плотности распределения (заштрихованная на рисунке область). Площадь всей криволинейной трапеции, заключенной между осью 0Х и графиком плотности распределения, всегда равна единице. Любая функция, удовлетворяющая перечисленным выше свойствам, может быть плотностью распределения некоторой непрерывной случайной величины.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:
  • Функция распределения случайной величины.
  • Вы сейчас здесь: Функция распределения плотности вероятностей и ее свойства.
  • Точная и приблизительная таблицы факториалов (1-255)
  • Таблица случайных чисел.
  • Таблицы : 100 случайных двузначных чисел и генератор случайных последовательностей.
  • Размер выборки для определения (достижения) уровней точности в зависимости от размера совокупности (в процентах с доверительным интервалом в 95%, р=0,5*). Таблица.
  • Размер выборки для определения (достижения) уровней точности в зависимости от размера совокупности (в процентах с доверительным интервалом в 99,7 %, р=0,5)*. Таблица.
  • Значения (критические) коэффициента корреляции Пирсона r для различных уровней значимости и различного числа степеней свободы (размеров выборки).
  • Весовые коэффициенты для взвешенной скользящей средней (при сглаживании по полиномам второго и третьего порядка).
  • Вероятности логически связанных событий .
  • Перестановки и разбиения. Число перестановок, число сочетаний, число комбинаций. Число различимых разбиений. Число различных последовательностей из N объектов.
  • Таблица. Функция распределения вероятностей стандартного нормального закона. Таблица квантилей стандартного нормального закона распределения.
  • Таблица. Плотность нормального распределения (стандартизированного).
  • Таблица. Интеграл вероятности или интеграл вероятностей. Она же функция ошибок erf
  • Таблица. Нормированный интеграл вероятностей (нормированная функция Лапласа). Она же нормированная функция ошибок.
  • F-распределение Стьюдента. Квантили распределения Стьюдента.
  • Хи квадрат-распределение. Распределение Пирсона. Квантили хи-квадрат распределения
  • Таблица. Непрерывные одномерные распределения вероятностей. Вырожденное (причинное) распределение, Равномерное (прямоугольное) распределение, Распределение Коши, Распределение Лапласа, Бэта-распределение, Гамма-распределение.
  • Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
    Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
    Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.