Инженерный справочник DPVA.ru (ex DPVA-info)

Проект Карла III Ребане и хорошей компании
 Задвижки, фильтры, кланы, клапаны, виброкомпенсаторы ABRA
Межфланцевые прокладки. Герметики. Уплотнительные материалы

Мы в Facebook:

DPVA.ru в Facebook

Мы ВКонтакте:



Free counters!


Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Степенные ряды Тейлора, Маклорена (=Макларена) и периодический ряд Фурье. Разложение функций в ряды.  / / Примеры некоторых распространенных разложений периодических и непереодических функций в ряд Фурье на интервале 2π.

Примеры некоторых распространенных разложений периодических и непереодических функций в ряд Фурье на интервале 2π.
Поделитесь ссылкой с друзьями:

Примеры некоторых распространенных разложений периодических и непереодических функций в ряд Фурье на интервале 2π.

1) Функция

Разложение в ряд Фурье(Функция является периодической за пределами заданного диапазона с интервалом 2π)

Этот прямоугольный сигнал показан на рис. ниже. Поскольку f(x) для двух половин диапазона задается двумя различными выражениями, интегрирование сигнала проводим для двух интервалов - сначала от -π до 0, затем от 0 до π.

Разложение в ряд Фурье. График

Отсюда коэффициенты Фурье:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

(В действительности ao - это среднее значение функции за полный период 2π, и его равенство 0 очевидно из рис. )

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

Следовательно, a1, a2, a3, ... все равны 0 (поскольку sin0=sin(-nπ)=sinnπ=0), и поэтому в ряду Фурье нет членов с косинусами.

Коэффициенты ряда Фурье

Если n - нечетное,

bn=4k/nπ,

Следовательно, b1=4k/π, b3=4k/3π, b5=4k/5π и так далее,

Если n четное bn=0.

Следовательно, согласно основной формуле разложения в ряд Фурье для функции на рис. выше есть

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

т.е.

Ответ1:

f(x)=(4k/π)sinx+(4k/3π)sin3x+(4k/5π)sin5x+...

Ответ2:

f(x)=4k/π(sinx+1/3πsin3x+1/5sin5x+...)

Если в рассмотренном выше ряду Фурье k=π, то f(x)=4[(sinx+(1/3)sin3x+(1/5π)sin5x+...]. Выражение 4sinx называется первой частичной суммой ряда Фурье функции f(x), (4sinx+(4/3)sin3x) - второй частичной суммной ряда Фурье, (4sinx+(4/3)sin3x+(4/5π)sin5x) - третьей частичной суммой ряда Фурье и так далее.

Пусть Р1=4sinx, Р2=(4sinx+(4/3)sin3x) , Р3=(4sinx+(4/3)sin3x+(4/5π)sin5x)

Графики Р1, Р2, Р3 построены по таблицам значений, а их суммы показаны на трех рис. ниже, откуда видно, что ряд сходится, т.е.при увеличении количества рассматриваемых частичных сумм он стремиться к конечному пределу, и в пределе получается сумма f(x)= π. Даже при учете только трех частичных сумм форма графика приближается к прямоугольной, которую представляет ряд Фурье.

Первая частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

1) Первая частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

Вторая частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

2) Вторая частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

Третья частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

3) Третья частичная сумма ряда Фурье функции f(x)

2) Функция f(x)=2x

на диапазоне от - π до π

График функции y=2x , разложение в ряд Фурье

Для данного уравнения:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

Ответ:

2х= 4[(sinx-(1/2)sin2x+(1/3)sin3x-1/4sin4x+1/5sin5x-1/6sin6x+...)

3) Функция

Разложение в ряд Фурье. Пример. Разложение в ряд Фурье. График

Для данного уравнения :

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

Ответ:

f(x)=8/π(cosx-1/3cos3x+1/5cos5x-1/7cos7x+...)

4) Функция

Разложение в ряд Фурье. Пример. Разложение в ряд Фурье. График

Коэффициенты:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

Ответ:

Разложение в ряд Фурье.

5) Функция f(x)=x2

Разложение в ряд Фурье. График.

Коэффициенты:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

Ответ:

Разложение в ряд Фурье.

6) Функция

Разложение в ряд Фурье. Пример.

Разложение в ряд Фурье.График.

Коэффициенты:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

Ответ:

Разложение в ряд Фурье.

7) Функция

Разложение в ряд Фурье. Пример.

Разложение в ряд Фурье. График.

Коэффициенты:

Разложение в ряд Фурье. Коэффициенты.

Ответ:

Разложение в ряд Фурье.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:
  • Ряд Тейлора. Разложение функции в ряд Тейлора.
  • Ряд Маклорена (=Макларена) это ряд Тейлора в окрестности точки а=0.
  • Примеры некоторых распространенных разложений степенных функций в ряды Маклорена (=Макларена,Тейлора в окрестностях точки 0) и Тейлора в окрестностях точки 1.
  • Ряд Фурье. Разложение функции в ряд Фурье. Разложение функции в ряд синусов и косинусов.
  • Вы сейчас здесь: Примеры некоторых распространенных разложений периодических и непереодических функций в ряд Фурье на интервале 2π.
  • Тригонометрические функции, формулы и графики. sin, cos, tg, ctg....Значения тригонометрических функций. Формулы приведения тригонометрических функций. Тригонометрические тождества.
  • Предел функции. Ограниченность функции, замечательные пределы, односторонние и бесконечные пределы, необходимые и достаточные условия существования предела функции в точке. Правила вычисления.
  • Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
    Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
    Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.