Инженерный справочник DPVA.info

Проект Карла III Ребане и хорошей компании
 Задвижки, фильтры, кланы, клапаны, виброкомпенсаторы ABRA
Межфланцевые прокладки. Герметики. Уплотнительные материалы

Мы ВКонтакте:



Free counters!


Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений. Формулы. Методы. / / Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. Системы дифференциальных уравнений. / / Примеры решений простейших = решаемых аналитически обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.  / / Примеры решений линейных дифференциальных уравнений (и сводящихся к ним)

Примеры решений линейных дифференциальных уравнений (и сводящихся к ним)
Поделитесь ссылкой с друзьями:

Примеры решений линейных уравнений (и сводящихся к ним)

1. y'+a(x)y=b(x)

Сначала надо решить методом разделения переменных однородное уравнение y'+a(x)y=0. В общем решении однородного уравнения заменить произвольную постоянную "с" на неизвестную функцию с(х) и подставить в исходное уравнение.

Пример.

xy'-2y=2x4

y'-(2/x)y=2x3

y'-(2/x)y=0, dy/y=2dx/x

ln|y|=2ln|x|+lnc

y=cx2

y=(x)x2

c'x2+2cx-(2/x)*c)x2=2x3

(dc/dx)*x2=2x3

dc=2xdx

c(x)=x2+c1

Тогда y=c(x)x2=(x2+c1)x2=cx2+ x4

2. Уравнение y'+a(x)y=b(x)yn называется уравнением Бернулли.

Чтобы решить это уравнение, надо обе его части разделить на yn и сделать замену z=1/yn-1. После замены получается линейное уравнение.

Пример.

Уравнение сводимое к однородному

Уравнение сводимое к однородному линейное уравнение.

Решаем относительно z однородное

Уравнение сводимое к однородному

Подставляя z=c(x) в линейное, получим

Уравнение сводимое к однородному

А решением исходного уравнения будет y≡0 (которое потеряли при делении на y3 исходного уравнения) и y-2=x4(2ex+c1)

3) Уравнение y'+a(x)y+b(x)y2=c(x) (Риккати) в общем случае не решается в квадратурах.

Если же известно одно его частное решение y1(x), то заменой y=y1(x)+z(x) уравнение Риккати сводится к уравнению Бернулли. Иногда частное решение удается подобрать, исходя из вида свободного члена уравнения, т.е. члена, не содержащего у.

Пример

Для уравнения y'+y2=x2-2x в левой части будут члены, подобные членам правой части, если взять y=ax+b.

Подставим y=ax+b в уравнение и приравняем коэффициенты при подобных членах

Уравнение сводимое к однородному

если a=+1, b=-1, то a+b2≠ 0

если a=-1, b=1, то a+b2=0

Итак, y=-x+1частное решение исходного уравнения.

Теперь делаем замену y=-x+1+z(x) и подставляем в исходное уравнение

-1+z'+x2 +1+z2-2x-2xz+2z=x2-2x

z'+(2-2x)z=-z2, получили уравнение Бернулли.

Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Дополнительная информация от Инженерного cправочника DPVA, а именно - другие подразделы данного раздела:
Поиск в инженерном справочнике DPVA. Введите свой запрос:
Адрес этой страницы (вложенность) в справочнике dpva.ru:  главная страница  / / Техническая информация / / Математический справочник / / Решение уравнений. Формулы. Методы. / / Решение дифференциальных уравнений (диффуров). Дифференциальные уравнения, порядок дифференциального уравнения. Системы дифференциальных уравнений. / / Примеры решений простейших = решаемых аналитически обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка.
Если Вы не обнаружили себя в списке поставщиков, заметили ошибку, или у Вас есть дополнительные численные данные для коллег по теме, сообщите , пожалуйста.
Вложите в письмо ссылку на страницу с ошибкой, пожалуйста.